С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

160 2. Численные методы анализаСправедлива огрублённая оценка|R(f)| ≤ M n+1(n+1)!∫ ba|ω n (x)|dx, (2.123)где M n+1 = max x∈[a,b] |f (n+1) (x)|. Из неё можно ещё раз заключить,что квадратурная формула интерполяционного типа, построенная по(n+1) узлам, является точной для любого полинома степени не болееn, поскольку тогда M n+1 = 0.Из наших рассуждений видно, что оценка (2.123) является простейшей,использующей лишь основные свойства алгебраического интерполянта.В некоторых случаях она может оказаться существенно завышенной,как это имеет место, к примеру, для формулы Симпсона.2.12д Дальнейшие формулы Ньютона-КотесаВ §2.12б и §2.12в простейшие квадратурные формулы Ньютона-Котеса — формулы прямоугольников и трапеций, формула Симпсона— были выведены и исследованы средствами, индивидуальными длякаждой отдельной формулы. В этом разделе мы взглянем на формулыНьютона-Котеса с более общих позиций.Зафиксировав номер n, n ≥ 1, возьмём на интервале интегрирования[a,b] равноотстоящие друг от друга узлыx (n)k= a+kh, k = 0,1,...,n, h = b−an .Для определения весов формул Ньютона-Котеса необходимо вычислитьвеличины (2.122), которые мы обозначим для рассматриваемогочастного случая как∫ bA (n)k=a((n)) ((n))((n)) ((n))x−x ··· x−x x−x ··· x−x0((n) xk −x(n) 0k−1)···(x(n)k −x(n) k−1k+1)(x(n)k −x(n) k+1n+1)···((n) xk −x(n) n) dx,k = 0,1,...,n. Сделаем в этом интеграле замену переменных x = a+th,