С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

208 3. Численные методы линейной алгебры3.2б Собственные числаи собственные векторы матрицыКак должно быть известно читателю, для квадратных вещественныхили комплексных матриц большую роль в теории и приложенияхиграют собственные значения и собственные векторы. Если обозначитьпосредством λ собственное значение n×n-матрицы A, а x, x ≠ 0,— её собственный вектор, то они удовлетворяют матричному уравнениюAx = λx. (3.3)Содержательный смысл этого равенства состоит в том, что на одномерномлинейном подпространстве в R n или C n , порождённом собственнымвекторомx, задаваемое матрицей A линейное преобразование действуеткак умножение на скаляр λ, т. е. как растяжение или сжатие.Собственные значения являются корнями так называемого характеристическогоуравнения матрицы, которое имеет видdet(A−λI) = 0. Дляn×n-матрицы это алгебраическое уравнение n-ой степени, так что дляего разрешимости по существу требуется привлечение поля комплексныхчисел C. Совокупность собственных чисел матрицы называетсяеё спектром, и в общем случае спектр — подмножество комплекснойплоскости.Наконец, широко известный факт: собственные значения эрмитовыхи симметричных матриц вещественны.Предложение 3.2.1 Пусть A — m×n-матрица,B — n×m-матрица,так что одновременно определены произведения AB и BA. Спектрыматриц AB и BA могут различаться только нулём.Доказательство. Пусть λ — какое-нибудь ненулевое собственное значениематрицы AB, так чтоABu = λu (3.4)с некоторым вектором u ≠ 0. Умножая это равенство слева на матрицуB, получимB(ABu) = B(λu),илиBA(Bu) = λ(Bu),