С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

360 3. Численные методы линейной алгебрыгде τ k — величина шага, которая выбирается из условия убывания целевойфункции на рассматриваемой итерации. Далее мы можем повторитьэтот шаг ещё раз и ещё . . . столько, сколько требуется длядостижения требуемого приближения к минимуму.Если целевая функция имеет более одного локального экстремума,то этот метод может сходиться к какому-нибудь одному из них, которыйне обязательно является глобальным. К счастью, подобный феноменне может случиться в интересующем нас случае минимизациифункционала энергии Φ(x), порождаемого системой линейных уравненийс симметричной положительно определённой матрицей. СвойстваΦ(x) достаточно хороши, и он имеет один локальный минимум, которыйодновременно и глобален.локальныеминимумыглобальныйминимумРис. 3.21. Глобальные и локальные минимумы функции.Вычислим градиент функционала энергии:⎛⎞∂Φ(x)= ∂ ⎝ 1 n∑ n∑ n∑a ij x i x j − b i x i⎠ =∂x l ∂x l 2i=1 j=1i=1n∑a lj x j −b l ,l = 1,2,...,n. Множитель1/2 исчезает в результате потому, что в двойнойсумме помимо квадратичных слагаемыхa ii x 2 i остальные слагаемыеприсутствуют парами, как a ij x i x j и a ji x j x i , причём a ij = a ji . В целомj=1Φ ′ (x) =( ∂Φ(x)∂x 1, ∂Φ(x)∂x 2,..., ∂Φ(x)∂x n) ⊤= Ax−b,