С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 287то для A существует LU-разложение, т.е. представление её в видеA = LU— произведения нижней треугольной n×n-матрицы L и верхней треугольнойn ×n-матрицы U. Это LU-разложение для A единственнопри условии, что диагональными элементами в L являются единицы.Доказательство проводится индукцией по порядку n матрицы A.Если n = 1, то утверждение теоремы очевидно. Тогда искомые матрицыL = (l ij ) и U = (u ij ) являются просто числами, и достаточновзять l 11 = 1 и u 11 = a 11 .Пусть теорема верна для матриц размера (n − 1) × (n − 1). Тогдапредставим n×n-матрицу A в блочном виде:⎛ ⎞a 11 a 12 ... a 1n( )a 21 a 22 ... a 2nA = ⎜⎝... .. .⎟⎠ = An−1 z,v a nna n1 a n2 ... a nnгде A n−1 — ведущая (n−1)×(n−1)-подматрица A,z — вектор-столбец размера n−1,v — вектор-строка размера n−1,такие что⎛ ⎞a 1na 2nz = ⎜ ⎟⎝ . ⎠ , v = ( )a n1 a n2 ... a n,n−1 .a n−1,nТребование разложения A на треугольные множители диктует равенство( ) ( ) ( )An−1 z Ln−1 0 Un−1 yA = = · ,v a nn x l nn 0 u nnгде L n−1 ,U n−1 — (n−1)×(n−1)-матрицы,x — вектор-строка размера n−1,y — вектор-столбец размера n−1.