С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.10. Нестационарные итерационные методы 355который получен в результате матричного предобуславливания исходнойсистемы линейных алгебраических уравнений. Переписав его вычислительнуюсхему в видеx (k+1) ← x (k) −Λ ( Ax (k) −b ) , k = 0,1,2,...,нетрудно увидеть возможность изменения предобуславливающей матрицыΛ в зависимости от номера шага. Таким образом, приходим квесьма общей схеме нестационарных линейных итерационных процессовx (k+1) ← x (k) −Λ k(Ax (k) −b ) , k = 0,1,2,...,где {Λ k } ∞ k=0 — некоторая последовательность матриц, выбор которойзависит, вообще говоря, от начального приближения x (0) .Другой популярный путь построения нестационарных итерационныхметодов для решения уравнений — использование вариационныхпринципов.Интуитивно понятный термин «вариация» был введён в математикуЖ.-Л. Лагранжем для обозначения малого изменения («шевеления»)независимой переменной или рассматриваемой функции (функционала).Соответственно, метод исследования задач нахождения экстремумов,основанный на изучении зависимости функции от вариацийаргументов получил название метода вариаций. Но со временем «вариационными»стали именовать методы решения различных уравнений,которые сводят исходную постановку задачи к определённым задачамна нахождение экстремума. Согласно этой терминологии, вариационнымипринципами теперь называют переформулировки интересующихнас задач в виде каких-либо оптимизационных задач, т. е. задач на нахождениеминимумов или максимумов. Тогда итерационные методырешения СЛАУ могут конструироваться как итерационные процессыдля отыскания этих экстремумов тех или иных функционалов.Вариационные принципы получаются весьма различными способами.Некоторые из них вытекают из содержательного (физического, механическогои пр.) смысла решаемой задачи. Например, в классическоймеханике хорошо известны «припцип наименьшего действия Лагранжа»,в оптике существует «принцип Ферма» [70]. В последнее столетиеимеется тенденция всё меньше связывать вариационные принципы сконкретным физическим содержанием, они становятся абстрактнымматематическим инструментом решения разнообразных задач.Строго говоря, в вычислительном отношении получающаяся в результатеописанного выше свед´ения оптимизационная задача может