С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

238 3. Численные методы линейной алгебрыстолбцов. Выполнение всех аксиом векторной нормы для ‖v‖ очевиднымобразом следует из аналогичных свойств рассматриваемой нормыматрицы.Опираясь на субмультипликативность матричной нормы, имеем‖Av‖ = ‖(Av,Av,...,Av)‖ ′ = ‖A·(v,v,...,v)‖ ′≤ ‖A‖ ′ ·‖(v,v,...,v)‖ ′ = ‖A‖ ′ ·‖v‖,так что требуемое согласование действительно будет достигнуто.3.3г Подчинённые матричные нормыВ предшествующем пункте мы могли видеть, что с заданной векторнойнормой могут быть согласованы различные матричные нормы.И наоборот, для матричной нормы возможна согласованность со многимивекторными нормами. В этих условиях при проведении различныхпреобразований и выводе оценок наиболее выгодно оперироватьсогласованными матричными нормами, которые принимают как можноменьшие значения. Тогда неравенства, получающиеся в результатеприменения в выкладках соотношения (3.19), будут более точными ипозволят получить более тонкие оценки результата. Например, конкретнаяоценка нормы погрешности может оказать сильное влияниена количество итераций, которые мы вынуждены будем сделать в итерационномчисленном методе для достижения той или иной точностиприближённого решения.Пусть дана векторная норма ‖·‖ и зафиксирована матрица A. Изтребования согласованности (3.19) вытекает неравенство для согласованнойнормы матрицы ‖A‖:‖A‖ ≥ ‖Ax‖/‖x‖, (3.20)гдеx—произвольный вектор. Как следствие, значения всех матричныхнорм от A, согласованных с данной векторной нормой ‖·‖, ограниченыснизу выражением‖Ax‖supx≠0 ‖x‖ ,коль скоро (3.20) должно быть справедливым для любого ненулевоговектора x.