С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 389меняться в зависимости от матрицы разрывным образом даже в совершеннообычных ситуациях.Пример 3.16.2 [50] Рассмотрим матрицуA =( 1+ε δ0 1Её собственные значения суть числа 1 и 1 + ε, и при εδ ≠ 0 соответствующиминормированными собственными векторами являются(1 −δ√ε2 +δ 2 ε)и).( 10Выбирая подходящим образом отношение ε/δ, можно придать первомусобственном вектору любое направление, сколь бы малыми ни являлисьзначения ε и δ.Если положить ε = 0, тоA =( 1 δ0 1При δ ≠ 0 у матрицы A будет всего один собственный вектор, хотя принадлежащем δ её можно сделать сколь угодно близкой к единичнойматрице, имеющей два линейно независимых собственных вектора. ).).При более пристальном изучении проблемы собственных значенийвыясняется, что, несмотря на непрерывную зависимость собственныхзначений от элементов матрицы, скорость их изменения может бытьсколь угодно большой (даже для матриц фиксированного размера),если они соответствуют так называемым нелинейным элементарнымделителям матрицы — жордановым клеткам размера 2 и более.Пример 3.16.3 Собственные значения матрицы( ) λ 1A =ε λ— возмущённой жордановой 2 × 2-клетки — равны λ ± √ ε, так чтомгновенная скорость их изменения, равная √ ε/ε, при ε = 0 бесконечна.