С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

124 2. Численные методы анализаВозьмём середину отрезка прямой, соединяющей u ′ и u ′′ , т. е. точку,у которой компоненты разложения по векторам φ i , равны 1 2 (u′ i +u′′ i ).Имеем∥ m ∥ f − ∑ ∥∥∥∥ (12 (u′ i +u ′′1m∑)i)φ i =f − u ′∥ 2iφ i + 1 ( m∑) ∥ f − u ′′ ∥∥∥i φ i2i=1i=1i=1≤ 1 m 2 ∥ f − ∑u ′ i φ i∥ + 1 m 2 ∥ f − ∑i=1u ′′i φ ii=1∥ = µ.Строгого неравенства здесь быть не может, что очевидно для µ = 0,а для µ > 0 означало бы существование элемента, приближающего fлучше, чем два элемента наилучшего приближения u ′ и u ′′ . Поэтомунеобходимо должно выполняться равенство∥∥(1f −2m∑i=1)u ′ iφ i + 1 (f −2m∑i=1u ′′i φ i) ∥ ∥ ∥∥∥= 1 m ∥2 ∥ f − ∑ ∥∥∥u ′ iφ i + 1 m2 ∥ f − ∑i=1i=1u ′′i φ i∥ ∥∥∥.Но если рассматриваемое пространство — строго нормированное, то изполученного равенства следует( )m∑m∑f − u ′ iφ i = α f − u ′′i φ i (2.90)i=1для некоторого вещественного α.В случае, когда α ≠ 1, получаемf =11−α ·m∑i=1i=1(u ′ i −αu′′ i )φ i,т. е.f точно представляется в виде линейной комбинации базисных векторовφ i . Тогда µ = 0, и в силу единственности разложения по базисудолжно быть u ′ i = u′′ i . Следовательно, для f в действительности существуетвсего лишь одно наилучшее приближение.В остающемся случае α = 1 для выполнения равенства (2.90) необходимоu ′ i = u′′ i , и тогда два элемента наилучшего приближения (2.89)также должны совпадать.