С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.12. Численное интегрирование 151из интервала интегрирования [a,b].Для упрощения рассуждений выполним параллельный перенос криволинейнойтрапеции, площадь которой мы находим с помощью интегрирования,и сделаем точку a началом координат оси абсцисс (см.Рис. 2.23). Тогда правым концом интервала интегрирования станетl = b−a. Пусть˘P 2 (x) = c 0 +c 1 x+c 2 x 2— полином второй степени, интерполирующий сдвинутую подинтегральнуюфункцию по узлам 0, l/2 и l. Если график ˘P 2 (x) проходитчерез точки плоскости с координатами(( ) l( a+b) )0,f(a) ,2 ,f ,2(l,f(b)),то⎧⎪ ⎨⎪ ⎩c 0 = f(a),lc 0 +c 12 +c l 2 ( a+b)24 = f ,2c 0 +c 1 l+c 2 l 2 = f(b).(2.114)Площадь, ограниченная графиком интерполяционного полинома, равна∫ l(c0 +c 1 x+c 2 x 2) dx = c 0 l+c 1l 2 2 +c 20l 3 3= l 6(6c0 +3c 1 l+2c 2 l 2) .Фактически, для построения квадратурной формулы требуется решитьотносительно c 0 , c 1 и c 2 систему уравнений (2.114) и потом подставитьрезультаты в полученное выше выражение. Но можно выразить трёхчлен6c 0 + 3c 1 l + 2c 2 l 2 через значения подинтегральной функции f вузлах, не решая систему (2.114) явно.Умножая второе уравнение системы (2.114) на 4 и складывая с первыми третьим уравнением, получим( a+b)6c 0 +3c 1 l+2c 2 l 2 = f(a)+4f +f(b).2