С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 413Таблица 3.11. Обратные степенные итерации для нахождениянаименьшего по модулю собственного значения матрицы Ak ← 0;выбираем вектор x (0) ≠ 0;нормируем x (0) ← x (0) /‖x (0) ‖ 2 ;DO WHILE ( метод не сошёлся )END DOнайти y (k+1) из системы Ay (k+1) = x (k) ;˜λ ← 〈 x (k) ,y (k+1)〉 / 〈 y (k+1) ,y (k+1)〉 ;x (k+1) ← y (k+1) /‖y (k+1) ‖ 2 ;k ← k +1;приближением к наименьшему по модулю собственному значению матрицыA является〈x (k) ,x (k+1) 〉〈x (k+1) ,x (k+1) 〉 ,где Ax (k+1) = x (k) . Псевдокод получающегося метода представлен вТабл. 3.11.Практическая реализация решения системы линейных уравнений(5-я строка псевдокода) может быть сделана достаточно эффективной,если предварительно выполнить LU- или QR-разложение матрицы A, азатем на каждом шаге метода использовать формулы (3.59) или (3.77).Пример 3.17.4 Рассмотрим работу обратных степенных итерацийдля знакомой нам матрицы( ) 1 2,3 4собственные значения которой суть 1 2 (5±√ 33), приблизительно равные−0.372 и 5.372.