С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

338 3. Численные методы линейной алгебры10 µ MλРис. 3.19. Графики функций 1−τλ для различных τОн и является моментом достижения оптимума, поскольку дальнейшееувеличение τ приводит к росту −(1−τM) на правом конце интервала,а уменьшение τ ведёт к росту 1−τµ на левом конце. В любом из этихслучаев g(τ) возрастает. Отсюдаτ опт =2M +µ , (3.99)а значение оптимума g(τ), равное коэффициенту подавления 2-нормыпогрешности (как следствие из неравенств (3.93)), есть‖I −τ опт A‖ 2 = minτmaxλ∈[µ,M] |1−τλ| = 1−τ оптµ= 1− 2 M −µ ·µ =M +µ M +µ . (3.100)Ясно, что эта величина меньше единицы, т. е. даже с помощью простейшегоскалярного предобуславливателя мы добились сходимости итерационногопроцесса.Полезно оценить значение (3.100), используя спектральное числообусловленности матрицы A. Так как µ ≤ λ min (A) и λ max (A) ≤ M, тоcond 2 (A) = λ max(A)λ min (A) ≤ M µ .