С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

456 4. Решение нелинейных уравнений и их системТеорема 4.4.1 Пусть для алгебраического уравнения видаобозначеноa n x n +a n−1 x n−1 +...+a 1 x+a 0 = 0α = max{a 0 ,...,a n−1 }, β = max{a 1 ,...,a n }.Тогда все решения этого уравнения принадлежат кольцу в комплекснойплоскости, определяемому условием1 α≤ |x| ≤ 1+1+β/|a 0 | |a n | .Полезно правило знаков Декарта, утверждающее, что число положительныхкорней полинома с вещественными коэффициентами равночислу перемен знаков в ряду его коэффициентов или на чётное числоменьше этого числа. При этом корни считаются с учётом кратности,а нулевые коэффициенты при подсчёте числа перемен знаков не учитываются.Если, к примеру, заранее известно, что все корни данногополинома вещественны, то правило знаков Декарта даёт точное числокорней. Рассматривая полином с переменной (−x) можно с помощьюэтого же результата найти число отрицательных корней исходного полинома.4.4б Метод дихотомииЭтот метод часто называют также методом бисекции или методомполовинного деления. Он заключается в последовательном делении пополаминтервала локализации корня уравнения, на концах которогофункция принимает значения разных знаков. Теоретической основойметода дихотомии является следующий факт, хорошо известный в математическоманализе:Теорема 4.4.2 (теорема Больцано-Коши) Если функция f : R → Rнепрерывна на интервале X ⊂ R и на его концах принимает значенияразных знаков, то внутри интервала X существует нуль функцииf, т.е. точка ˜x ∈ X, в которой f(˜x) = 0.Часто её называют просто «теоремой Больцано» (см., к примеру,[38]), так как именно Б. Больцано первым обнаружил это замечательноесвойство непрерывных функций.