С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

162 2. Численные методы анализаслучая n = 2B (2)0 = 1 4∫ 20(t−1)(t−2)dt = 1 4( t33 −3 t2 2 +2t )∣ ∣∣∣20= 1 6 ,B (2)1 = − 1 2∫ 20t(t−2)dt = − 1 2( )∣ t3 ∣∣∣23 −t20= 4 6 ,B (2)1 = 1 4∫ 20t(t−1)dt = 1 4( )∣ t33 − t2 ∣∣∣220= 1 6 .Полученные коэффициенты соответствуют формуле Симпсона (2.115).И так далее.За прошедшие три столетия коэффициенты Котеса были тщательновычислены для значений n из начального отрезка натурального ряда.В Табл. 2.2, заимствованной из книги [15], приведены коэффициентыКотеса для n ≤ 10 (см. также [3, 21, 35, 67]).Можно видеть, что с ростомnзначения коэффициентов КотесаB (n)kв зависимости от номера k начинают всё сильнее и сильнее «осциллировать»(напоминая в чём-то пример Рунге, стр. 83). Результатом этогоявляется то необычное и противоестественное обстоятельство, что средивесов формул Ньютона-Котеса при числе узлов n = 8, 10 и б´ольшихвстречаются отрицательные. Это снижает ценность соответствующихформул, так как при интегрировании знакопостоянных функций можетприводить к вычитанию близких чисел и потере точности.К середине XX века выяснилось, что отмеченный недостаток типичендля формул Ньютона-Котеса высоких порядков. Р.О. Кузьминполучил в [48] асимптотические формулы для коэффициентов Котеса17 , из которых следует, что сумма их модулей, т. е.n∑k=0|B (n)k |,неограниченно возрастает с ростом n. Отсюда вытекает, во-первых, чтопогрешности вычислений с формулами Ньютона-Котеса могут быть17 Помимо оригинальной статьи Р.О.Кузьмина [48] эти асимптотические формулыможно также увидеть в учебнике [17].