С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.12. Теория А.А. Самарского 377Учитывая неравенство B ⊲ 1 2τA, можем заключить, что вычитаемое вправой части полученного равенства всегда неотрицательно. По этойпричине‖z (k+1) ‖ A ≤ ‖z (k) ‖ A ,так что последовательность‖z (k) ‖ A монотонно не возрастает и ограниченаснизу нулём. В силу теоремы Вейерштрасса она имеет предел приk → ∞.НеравенствоB ⊲ 1 2τA, т. е. положительная определённость матрицы(B− 1 2τA), означает существование такогоη > 0, что для любыхy ∈ Rn〈(B −12 τA) y,y 〉 ≥ η〈y,y〉 = η‖y‖ 2 2 .Окончательно получаем из (3.127)‖z k+1) ‖ 2 A −‖z (k) ‖ 2 A +2ητ ∥ ∥ B −1 Az (k)∥ ∥ 2 2 ≤ 0для всех k = 0,1,2,.... Переходя в этом неравенстве к пределу поk → ∞, заключаем, что тогда ‖B −1 Az (k) ‖ 2 → 0. При неособенной матрицеB −1 A это возможно лишь при z (k) → 0. Итак, вне зависимости отвыбора начального приближения итерационный процесс в самом делесходится.Отметим, что из теоремы Самарского следует теорема Островского-Райха (Теорема 3.9.3) о сходимости метода релаксации для СЛАУ ссимметричными положительно определёнными матрицами, а также,как её частный случай, Теорема 3.9.2 о сходимости метода Гаусса-Зейделя. В самом деле, пусть A = ˜L + D + Ũ в обозначениях §3.9д,т. е. ˜L и Ũ — строго нижняя и строго верхняя треугольные части матрицыA,аD — её диагональная часть. Если A симметрична, то ˜L = Ũ⊤ ,и поэтомуТогда〈Ax,x〉 = 〈˜Lx,x〉+〈Dx,x〉+〈Ũx,x〉 = 〈Dx,x〉+2〈˜Lx,x〉.〈Bx,x〉− 1 2 ω〈Ax,x〉 = 〈(D +ω˜L)x,x〉− 1 2 ω( 〈Dx,x〉+2〈˜Lx,x〉 )= ( 1− 1 2 ω) 〈Dx,x〉 > 0при 0 < ω < 2.Дальнейшие результаты в этом направлении читатель может увидеть,к примеру, в [37, 80].