С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 339Поэтому, принимая во внимание тот факт, что функцияf(x) = x−1x+1 = 1− 2x+1возрастает при положительных x, можем заключить, что‖I −τ опт A‖ 2 = M/µ−1M/µ+1 ≥ cond 2(A)−1cond 2 (A)+1 .Получается, что чем больше cond 2 (A), т. е. чем хуже обусловленностьматрицы A исходной системы, тем медленнее сходимость нашего итерационногопроцесса. Мы увидим далее, что это характерно для поведениямногих итерационных методов.Наибольшую трудность на практике представляет нахождение µ,т. е. нижней границы спектра матрицы СЛАУ. Иногда мы даже можемничего не знать о её конкретной величине кроме того, что µ ≥ 0. Вэтих условиях развитая нами теория применима лишь частично. Оптимальнымзначением параметра τ следует, очевидно, взятьτ опт = 2 M ,метод простой итерации (3.98) будет при этом сходиться, но никакихоценок его скорости сходимости дать нельзя.3.9д Итерационный метод ЯкобиПусть в системе линейных алгебраических уравнений Ax = b диагональныеэлементы матрицы A = (a ij ) отличны от нуля, т. е. a ii ≠ 0,i = 1,2,...,n. Это условие не является обременительным, так как длянеособенной матрицы A перестановкой строк (соответствующей перестановкеуравнений системы) можно всегда сделать диагональные элементыненулевыми.В развёрнутом виде рассматриваемая система имеет видn∑a ij x j = b i , i = 1,2,...,n,j=1и, выражая i-ю компоненту вектора неизвестных из i-го уравнения,получим ⎛ ⎞x i = 1 ⎝b i − ∑ a ij x j⎠, i = 1,2,...,n.a iij≠i