С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.4. Классические методы решения уравнений 459Удобное средство для решения этой задачи предоставляют методыинтервального анализа. Задача об определении области значенийфункции на брусах из области её определения эквивалентна задаче оптимизации,но в интервальном анализе она принимает специфическуюформу задачи о вычислении так называемого интервального расширенияфункции (см. §1.5).4.4в Метод простой итерацииМетодом простой итерации обычно называют стационарный одношаговыйитерационный процесс, который организуется после того,как исходное уравнение каким-либо способом приведено к равносильномурекуррентному виду x = Φ(x). Далее, после выбора некоторогоначального приближения x (0) , запускается итерационный процессx (k+1) ← Φ(x (k) ), k = 0,1,2,...При благоприятных обстоятельствах последовательность {x (k) } сходится,и её пределом является решение исходного уравнения. Но в общемслучае и характер сходимости, и вообще её наличие существеннозависят как от отображения Φ, так и от начального приближения крешению.Пример 4.4.2 Уравнение (4.11) из Примера 4.4 нетрудно привести крекуррентному видуα = l h sinα,где l = 3.3 и h = 3. Далее, взяв в качестве начального приближения,например, α (0) = 1, через 50 итерацийα (k+1) ← l h sinα(k) , k = 0,1,2,..., (4.12)получаем пять верных знаков точного решения α ∗ = 0.748986642697...(читатель легко может самостоятельно проверить все числовые данныеэтого примера с помощью любой системы компьютерной математики).Итерационный процесс (4.12) сходится к решению α ∗ не из любогоначального приближения. Если α (0) = πl, l ∈ Z, то выполнение итераций(4.12) с идельной точностью даёт α (k) = 0,k = 1,2,.... Если жеα (0)таково, что синус от него отрицателен, то итерации (4.12) сходятся к