С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 65в чём можно убедиться непосредственным дифференцированием равенстваR n (f,x) = f(x)−P n (x),где интерполяционный полином P n (x) берётся в форме Ньютона.В самом деле, в интерполяционном полиноме Ньютона только уразделённой разности n-го порядка f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ) коэффициент являетсяполиномомn-ой степени со старшим членом x n . Коэффициентыостальных разделённых разностей — полиномы меньших степеней отx, которые исчезнут при n-кратном дифференцировании, тогда как отполинома n-ой степени со старшим членом x n после этого дифференцированияостанется число n!.Функция R n (f,x) является n-кратно дифференцируемой на [a,b] и,кроме того, обращается в нуль вn+1 различных точках — узлах интерполяцииx 0 , x 1 , . . . , x n . В силу известной из математического анализатеоремы Ролля производная R n(f,x) ′ обязана зануляться внутри n интервалов[x 0 ,x 1 ], [x 1 ,x 2 ], . . . , [x n−1 ,x n ], т. е. она имеет n нулей.Далее, повторяя те же рассуждения в отношении второй производнойR n(f,x), ′′ приходим к выводу, что она должна иметь на ]x 0 ,x n [ неменее n − 1 нулей. Аналогично для третьей производной R n ′′′(f,x)ит. д. вплоть до R n (n) (f,x), которая должна иметь на ]x 0 ,x n [ хотя быодин нуль. Это и требовалось доказать.Теорема 2.2.2 Пусть f ∈ C n+1 [a,b], т.е. функция f(x) непрерывнодифференцируема n+1 раз на интервале [a,b]. При её интерполированиипо попарно различным узлам x 0 , x 1 , ..., x n с помощью полиномаn-ой степени остаточный член R n (f,x) может быть представлен ввидеR n (f,x) = f(n+1)( ξ(x) )·ω n (x), (2.24)(n+1)!где ξ(x) — некоторая точка, принадлежащая открытому интервалу]a,b[ и зависящая от x, а ω n = (x−x 0 )(x−x 1 )...(x−x n ).Доказательство. Если x = x i для одного из узлов интерполирования,то R n (f,x) = 0, но в то же время и ω n (x) = 0. Поэтому в качестве ξ вэтом случае можно взять любую точку из открытого интервала ]a,b[ .Если же аргумент x остаточного члена не совпадает ни с однимиз узлов интерполирования, то применяем Предложение 2.2.3, в которомразделённая разность представлена согласно результату Предложения2.2.2.