С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

14 1. ВведениеРассмотрим теперь эволюцию относительной погрешности в вычислениях.Предложение 1.1.2 Если слагаемые в сумме имеют одинаковый знак,то относительная погрешность суммы не превосходит наибольшейиз относительных погрешностей слагаемых.Доказательство. Пусть складываются приближённые величины x 1и x 2 с относительными погрешностями ˜δ 1 и ˜δ 2 . Тогда их абсолютныепогрешности∆ 1 = δ 1 |x 1 |, и ∆ 2 = δ 2 |x 2 |.Если δ = max{δ 1 ,δ 2 }, то∆ 1 ≤ δ|x 1 |, ∆ 2 ≤ δ|x 2 |.Складывая полученные неравенства почленно, получимоткуда∆ 1 +∆ 2 ≤ δ ( |x 1 |+|x 2 | ) ,∆ 1 +∆ 2|x 1 |+|x 2 | ≤ δ.В числителе полученной дроби стоит предельная абсолютная погрешностьсуммы, а в знаменателе — модуль точного значения суммы, еслислагаемые имеют один и тот же знак.Ситуация с относительной погрешностью принципиально меняется,когда в сумме слагаемые имеют разный знак, т. е. она является разностью.Если результат имеет меньшую абсолютную величину, чем абсолютныевеличины операндов, то значение дроби (1.2) возрастёт. А есливычитаемые числа очень близки друг к другу, то знаменатель в (1.2)сделается очень маленьким и относительная погрешность результатаможет катастрофически возрасти.Пример 1.1.1 Рассмотрим вычитание чисел 1001 и 1000, каждое изкоторых является приближённым и известным с абсолютной точностью0.1.Таким образом, относительные точности обоих чисел примерноравны 0.01%. Выполняя вычитание, получим результат 1, которыйимеет абсолютную погрешность 0.1+0.1 = 0.2. Как следствие, оносительнаяпогрешность результата достигла 20%.