С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.5. Обусловленность систем линейных уравнений 265Рис. 3.9. Иллюстрация возмущения решения системы линейныхуравнений с плохой обусловленностью матрицы.Тем не менее, существует практически важный частный случай, когданахождение числа обусловленности матрицы может быть выполненодостаточно эффективно. Это случай спектральной матричной нормы‖·‖ 2 , подчинённой евклидовой норме векторов.Напомним (Предложение 3.2.5), что для любой неособенной квадратнойматрицы A справедливо равенство σ max (A −1 ) = σ −1min(A), и поэтомуотносительно спектральной нормы число обусловленности матрицыестьcond 2 (A) = σ max(A)σ min (A) .Этот результат помогает понять большую роль сингулярных чисел в современнойвычислительной линейной алгебре и важность алгоритмовдля их нахождения. В совокупности с ясным геометрическим смысломевклидовой векторной нормы (2-нормы) это вызывает преимущественноеиспользование этих норм для многих задач теории и практики.Наконец, если матрица A симметрична (эрмитова), то её сингулярныечисла совпадают с модулями собственных значений, и тогдаcond 2 (A) = max i|λ i (A)|min i |λ i (A)|(3.41)— спектральное число обусловленности равно отношению наибольшегои наименьшего по модулю собственных значений матрицы. Для сим-