С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 409сходится к первому столбцу матрицы V , т. е. к собственному вектору,отвечающему λ 1 . Вектор x (k) , который отличается от A k x (0) лишьнормировкой, сходится к собственному вектору v 1 , а величина ˜λ =〈y (k+1) ,x (k) 〉 сходится к 〈Av 1 ,v 1 〉 = 〈λ 1 v 1 ,v 1 〉 = λ 1 . Из проведённых выше выкладок следует, что быстрота сходимостистепенного метода определяется отношениями |λ i /λ 1 |, i = 2,3,...,n,— знаменателями геометрических прогрессий, стоящих в качестве элементоввектора (3.146). Фактически, решающее значение имеет наибольшееиз этих отношений, т. е. |λ 2 /λ 1 |, зависящее от того, насколькомодуль доминирующего собственного значения отделён от модуляостальной части спектра. Чем больше эта отделённость, тем быстреесходимость степенного метода.Пример 3.17.1 Для матрицы (3.10)( ) 1 2,3 4при вычислениях с двойной точностью степеной метод с начальнымвектором x (0) = (1,1) ⊤ за 7 итераций даёт семь верных знаков доминирующегособственного значения 1 2 (5+√ 33) ≈ 5.3722813. Детальнаякартина сходимости показана в следующей табличке:Номер Приближениеитерации к собственному значению1 5.02 5.34482763 5.37394454 5.37216495 5.37228946 5.37228087 5.3722814Быстрая сходимость объясняется малостью величины |λ 2 /λ 1 |, которая,как мы могли видеть в Примере 3.1.3, для рассматриваемойматрицы равна всего лишь 0.069.Для матрицы (3.11)( ) 1 2,−3 4