С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

272 3. Численные методы линейной алгебры3.6 Прямые методы решения системлинейных алгебраических уравненийРешение систем линейных алгебраических уравнений вида⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b 1 ,⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2 ,. . .. . ... .. .⎪⎩a n1 x 1 +a n2 x 2 +...+a mn x n =b m ,(3.43)с коэффициентамиa ij и свободными членами b i , или, в краткой форме,Ax = b (3.44)с m×n-матрицей A = (a ij ) и m-вектором правой части b = (b i ), являетсяважной математической задачей. Она часто встречается как самапо себе, так и в качестве составного элемента в технологической цепочкерешения более сложных задач. Например, решение нелинейныхуравнений или систем уравнений часто сводится к последовательностирешений линейных уравнений (метод Ньютона).Следует отметить, что системы линейных алгебраических уравненийне всегда предъявляются к решению в каноническом виде (3.43).Это придаёт дополнительную специфику процессу решения подобныхзадач и иногда диктует выбор тех или иных методов решения.Пример 3.6.1 Пусть задана двумерная область D = [x 1 ,x 1 ]×[x 1 ,x 2 ],имеющая форму прямоугольника со сторонами, параллельными координатнымосям. Рассмотрим в ней численное решение дифференциальногоуравнения Лапласа∂ 2 u∂x 2 + ∂2 u1 ∂x 2 = 0. (3.45)2В математической физике дифференциальный оператор, применяемыйк неизвестной функции двух переменных u(x 1 ,x 2 ), обычно обозначаютсимволом «∆», так что само уравнение (3.45) в краткой форме имеетвид ∆u = 0.Уравнением Лапласа описывается, к примеру, распределение температурыстационарного теплового поля, потенциал электростатического