С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 213Неприятной особенностью жордановой канонической формы являетсято, что она не зависит непрерывно от элементов матрицы, несмотряна то, что сами собственные значения матрицы непрерывно зависятот её элементов. Размеры жордановых клеток-блоков и их расположениевдоль диагонали могут скачкообразно меняться при измененииэлементов матрицы. Это делает жорданову форму малопригодной прирешении многих практических задач, где входные данные носят приближённыйи неточный характер.Другое популярное разложение матриц, использующее информациюо спектре матрицы — это разложение Шура.Пусть A — комплексная n×n-матрица и зафиксирован некоторыйпорядок её собственных значений λ 1 , λ 2 , . . . , λ n . Существует такаяунитарная n×n-матрица U, что матрица T = U ∗ AU является верхнейтреугольной матрицей с диагональными элементами λ 1 , λ 2 , . . . , λ n .Иными словами, любая квадратная матрица A унитарно эквивалентнатреугольной матрице, в которой диагональные элементы являютсясобственными значениями для A, записанными в произвольном заранеезаданном порядке. Если же A — это вещественная матрица и все еёсобственные значения вещественны, тоU можно выбрать вещественнойортогональной матрицей. ПредставлениеA = UTU ∗с верхней треугольной матрицей T и унитарными (ортогональными)матрицами U и U ∗ называют разложением Шура матрицы A. Оно вотличие от жордановой нормальной формы устойчиво к возмущениямэлементов матрицы.Для симметричных (эрмитовых в комплексном случае) матриц ввыписанном представлении матрица T также должна быть симметричной(эрмитовой). Как следствие, в этом случае справедлив болеесильный результат: с помощью ортогонального преобразования подобиялюбая матрица может быть приведена к диагональному виду, ссобственными значениями по диагонали. Часто это представление называютспектральным разложением линейного оператора. Более общо,спектральное разложение — представление линейного оператора в виделинейной комбинации операторов проектирования на взаимно ортогональныеоси.