С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

448 4. Решение нелинейных уравнений и их системто вращенияγ(Φ,D i ) отличны от нуля лишь для конечного набораD i иγ(Φ,D) = γ(Φ,D 1 )+γ(Φ,D 2 )+... .(C) Если Φ(x) = x−a для некоторой точки a ∈ D, то вращение Φна ∂D равно (+1), т. е.γ(Φ,D) = 1.Нетрудно понять, что определенная так величина вращения поляустойчива к малым шевелениям как области (это следует из (B)), таки векторного поля (это вытекает из (A)).Условиями (A)–(B)–(C) вращение векторного поля определяется однозначно,но можно показать [39], что это определение равносильноследующему конструктивному. Зафиксируем некоторую параметризациюповерхности ∂D, т. е. задание её в видеx 1 = x 1 (u 1 ,u 2 ,...,u n−1 ),x 2 = x 2 (u 1 ,u 2 ,...,u n−1 ),... .. .x n = x n (u 1 ,u 2 ,...,u n−1 ),где u 1 ,u 2 ,...,u n−1 — параметры, x i (u 1 ,u 2 ,...,u n−1 ), i = 1,2,...,n, —функции, определяющие одноименные координаты точки x = (x 1 , x 2 ,. . . , x n ) ∈ ∂D. Тогда вращение поля Φ(x) на границе ∂D области Dравно значению поверхностного интеграла⎛Φ 1 (x) ∂Φ1(x) ∂Φ∂u 1··· 1(x)∂u n−11 1S n∫∂D ‖Φ(x)‖ n ·det Φ 2 (x) ∂Φ2(x) ∂Φ∂u 1··· 2(x)∂u n−1du . 1 du 2 ...du n , (4.9)⎜ . . .. . ⎟⎝Φ n (x) ∂Φn(x)∂u 1···⎞⎠∂Φ n(x)∂u n−1где S n — площадь поверхности единичной сферы в R n . Этот интегралобычно называют интегралом Кронекера.В двумерном случае вращение векторного поля имеет простую геометрическуюинтерпретацию: это количество полных оборотов вектора