С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

64 2. Численные методы анализаДоказательство. Выпишем для f интерполяционный полином Ньютона(n+1)-й степени по узлам x 0 , x 1 , . . . , x n , z. Согласно (2.22)P n+1 (x) = P n (x)+f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ,z)(x−x 0 )(x−x 1 )···(x−x n ),где P n (x) — полином Ньютона для узлов x 0 , x 1 , . . . , x n . Подставляя вэто соотношение значение x = z, получимP n+1 (z) = P n (z)+f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ,z)(z −x 0 )(z −x 1 )···(z −x n ).Но P n+1 (z) = f(z) по построению полинома P n+1 . ПоэтомуR n (f,z) = f(z)−P n (z)= f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ,z)(z −x 0 )(z −x 1 )···(z −x n ),что и требовалось.Полученный результат позволяет точно находить численное значениепогрешности интерполирования в конкретных точках, но он неочень полезен для исследования поведения погрешности «в целом»,на всём интервале интерполирования. Чтобы получить более удобныеоценки для остаточного члена, нам будет необходимо воспользоватьсяПредложением 2.2.2 о связи разделённых разностей и производных, имы дадим его строгое доказательство.Доказательство Предложения 2.2.2.Поскольку разделённая разность есть симметричная функция узлов,то в формуле (2.2.2) без какого-либо ограничения общности можносчитать эти узлы x 0 , x 1 , . . . , x n упорядоченными по возрастаниюиндекса, т. е. x 0 < x 1 < ... < x n . Обозначивθ(x) := f (n) (x)−n!f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ),можно заметить, что Предложение 2.2.2 равносильно тогда следующемуутверждению: на ]x 0 ,x n [ существует точка ξ, которая являетсянулём функции θ(x).По точкам x 0 , x 1 , . . . , x n построим для функции f(x) интерполяционныйполином P n (x). Тогда введённая выше функция θ(x) есть n-ая производная по x от остаточного члена интерполяции R n (f,x) =f(x)−P n (x), т. е.f (n) (x)−n!f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ) = R (n)n (f,x),