С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

264 3. Численные методы линейной алгебрыПредположим, что возмущение ∆A матрицы A не слишком велико,так что выполнено условие‖∆A‖ ≤ 1‖A‖ .Тогда‖A −1 ∆A‖ ≤ ‖A −1 ‖‖∆A‖ < 1,и обратная матрица (I+A −1 ∆A) −1 разлагается в матричный ряд Неймана(3.33). Соответственно, мы можем воспользоваться вытекающейиз этого оценкой (3.34). Тогда‖∆x‖‖x‖≤=≤‖A −1 ‖1−‖A −1 ‖‖∆A‖ ·(‖∆A‖+ ‖∆b‖ )‖x‖‖A −1 (‖·‖A‖ ‖∆A‖1−‖A −1 ‖‖∆A‖ · ‖A‖ + ‖∆b‖ )‖A‖‖x‖cond(A)1−cond(A)· ‖∆A‖‖A‖( ‖∆A‖·‖A‖ + ‖∆b‖ ), (3.40)‖b‖поскольку ‖A‖‖x‖ ≥ ‖Ax‖ = ‖b‖.Оценка (3.40) — важная априорная оценка относительной погрешностичисленного решения системы линейных алгебраических уравненийчерез оценки относительных погрешностей её матрицы и правойчасти. Если величина ‖∆A‖ достаточно мала, то множитель усиленияотносительной ошибки в данныхcond(A)1−cond(A)· ‖∆A‖‖A‖близок к числу обусловленности матрицы A.Понятие числа обусловленности матрицы и полученные с его помощьюоценки имеют большое теоретическое значение, но их практическаяполезность напрямую зависит от наличия эффективных способоввычисления или хотя бы приближённого оценивания числа обусловленностиматриц. Фактически, определение числа обусловленности требуетзнания некоторых характеристик обратной матрицы, и в случае общихматричных норм хорошего решения задачи оценивания cond(A)не существует до сих пор.