С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.4. Приложения сингулярного разложения 255матрицу вместо аргумета в степенные разложения для соответствующихфункций. Эта важная и интересная тема, находящая многочисленныеприложения, развивается в рамках так называемой теории представленийлинейных операторов.3.4 Приложения сингулярного разложения3.4а Исследование неособенности и ранга матрицРассмотренное в §3.2д сингулярное разложение матрицы может служитьосновой для вычислительных технологий решения некоторых важныхматематических задач. Рассмотрим первой задачу об определениитого, особенна или неособенна матрица.Квадратная диагональная матрица неособенна тогда и только тогда,когда все её диагональные элементы не равны нулю. Из сингулярногоразложения матрицы следует, что произвольная квадратнаяматрица неособенна тогда и только тогда, когда её сингулярные числа— ненулевые.Хотя определение особенности или неособенности матрицы обычноассоциируется с исследованием определителся этой матрицы, наиболеенадёжным в вычислительном отношении способом проверки особенности/неособенностиявляется исследование сингулярных чисел матрицы.Хотя эта процедура более трудоёмка, чем нахождение определителя,она гораздо более предпочтительна в силу существенно большейустойчивости к ошибкам. Кроме того, величина ненулевого определителяматрицы является неадекватным признаком того, насколько близкаматрица к особенной: с помощью умножения матрицы на подходящеечисло значение её определителя можно сделать любым, тогда как мералинейной независимости столбцов матрицы или её строк при этомникак не изменится.Рассмотрим теперь задачу о вычислении ранга матрицы. Согласноопределению, ранг — это количество линейно независимых векторстрокили вектор-столбцов матрицы, с помощью которых можно линейнымкомбинированием породить всю матрицу. Фактически, ранг —это число независимых параметров, задающих матрицу. В таком видехорошо видна важность ранга в задачах обработки данных, когданам необходимо выявить какие-то закономерности в массивах данных,полученных в результате наблюдений или опытов. С помощью ранга