С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

More documents

Recommendations

Info

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 175где φ k (x) — k-ый базисный полином Лагранжа (см. стр. 51), построенныйпо узлам (2.136):φ i (x) = (x−x 1)···(x−x i−1 )(x−x i+1 )···(x−x n )(x i −x 1 )···(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )···(x i −x n ) .Тогда, выполняя замену переменных (2.135), получими потому( )1dx = d2 (a+b)+ 1 2 (b−a)y = 1 2(b−a) dy,c k =∫ b∫ 1φ k (x)dx = 1 2 (b−a) φ k (y)dy,a−1k = 1,2,...,n,где φ k (y) — k-ый базисный полином Лагранжа, построенный по узламy i , i = 1,2,...,n, которые являются корнями n-го полинома Лежандра.Получается, что веса квадратурной формулы Гаусса для произвольногоинтервала интегрирования [a,b] вычисляются простым умножениемвесов для канонического интервала [−1,1] на множитель 1 2(b − a) —радиус интервала интегрирования.Для интервала [−1,1] узлы квадратурных формул Гаусса (т. е. корниполиномов Лежандра) и их веса тщательно затабулированы дляпервых натуральных чисел n вплоть до нескольких десятков. Обсуждениевычислительных формул и других деталей численных процедурдля их нахождения читатель может найти, к примеру, в книгах [3, 53]и в специальных журнальных статьях. В частности, оказывается, чтовесовые коэффициенты формулы Гаусса с n узлами даются выражением2c k =(1−x 2 k )( L ′ n(x k ) ) 2 , k = 1,2,...,n,где L n (x) — n-ый полином Лежандра в форме, даваемой формулойРодрига (2.104).Конкретные числовые значения узлов и весов квадратур Гауссаприводятся в подробных руководствах по вычислительным методам[2, 3, 9, 15, 16, 56] или в специализированных справочниках, например,в [35, 47]. В частности, в учебнике [3] значения весов и узлов фомулГаусса приведены для небольших n с 16 значащими цифрами, в книге[16] — с 15 значащими цифрами вплоть до n = 16, а в справочниках
176 2. Численные методы анализаТаблица 2.3. Узлы и веса квадратурных формул ГауссаУзлыВесаn = 2±0.57735 02691 89626 1.00000 00000 00000n = 30.00000 00000 00000 0.88888 88888 88889±0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55556n = 4±0.33998 10435 84856 0.65214 51548 62546±0.86113 63115 94053 0.34785 48451 37454n = 50.00000 00000 00000 0.56888 88888 88889±0.53846 93101 05683 0.47862 86704 99366±0.90617 98459 38664 0.23692 68850 56189[35, 47] — с 20 значащими цифрами вплоть до n = 96 и n = 48. Такимобразом, практическое применение квадратур Гаусса обычно невстречает затруднений.При небольших значениях n можно дать точные аналитические выражениядля узлов формул Гаусса, как корней полиномов ЛежандраL n (x), имеющих явные представления (2.106). Так, для n = 3L 3 (x) = 1 2(5x 3 −3x ) = 1 2 x( 5x 2 −3 ) .Поэтому для канонического интервала интегрирования [−1,1] и n = 3
Page 1 and 2:
С.П. ШарыйКурсВЫЧИС
Page 3 and 4:
Книга является сис
Page 5 and 6:
4 Оглавление2.6а Эле
Page 7 and 8:
6 Оглавление3.7г Мет
Page 9 and 10:
ПредисловиеПредст
Page 11 and 12:
10 1. ВведениеК.Г. Яко
Page 13 and 14:
12 1. Введениеи потом
Page 15 and 16:
14 1. ВведениеРассмо
Page 17 and 18:
16 1. ВведениеПоэтом
Page 19 and 20:
18 1. Введениеется та
Page 21 and 22:
20 1. ВведениеПусть р
Page 23 and 24:
22 1. Введениетем, чт
Page 25 and 26:
24 1. ВведениеВ частн
Page 27 and 28:
26 1. Введение(вектор
Page 29 and 30:
28 1. Введение✻f(X)✛X
Page 31 and 32:
30 1. Введението инте
Page 33 and 34:
32 1. Введениевать их
Page 35 and 36:
34 1. ВведениеЕстест
Page 37 and 38:
36 1. Введениематриц
Page 39 and 40:
38 1. Введениеции, та
Page 41 and 42:
40 1. Введение[29] Neumaier
Page 43 and 44:
42 2. Численные метод
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91:
Page 94 and 95:
2.6. Сплайны 93Чтобы з
Page 96 and 97:
2.6. Сплайны 95двух пе
Page 98 and 99:
2.7. Нелинейные мето
Page 100 and 101:
2.8. Численное диффе
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
2.9. Алгоритмическое
Page 120 and 121:
2.10. Приближение фун
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127: 2.10. Приближение фун
Page 134 and 135: 2.11. Полиномы Лежанд
Page 144 and 145: 2.12. Численное интег
Page 166 and 167: 2.13. Квадратурные фо
Page 182 and 183: 2.14. Составные квадр
Page 184 and 185: 2.15. Сходимость квад
Page 190 and 191: 2.16. Вычисление инте
Page 192 and 193: 2.16. Вычисление инте
Page 194 and 195: 2.17. Правило Рунге д
Page 196 and 197: Литература к главе
Page 198 and 199: Литература к главе
Page 200 and 201: 3.1. Задачи вычислит
Page 202 and 203: 3.2. Теоретическое в
Page 226 and 227:
3.3. Нормы векторов и
Page 228 and 229:
Page 230 and 231:
Page 232 and 233:
Page 234 and 235:
Page 236 and 237:
Page 238 and 239:
Page 240 and 241:
Page 242 and 243:
Page 244 and 245:
Page 246 and 247:
Page 248 and 249:
Page 250 and 251:
Page 252 and 253:
Page 254 and 255:
Page 256 and 257:
3.4. Приложения синг
Page 258 and 259:
Page 260 and 261:
Page 262 and 263:
3.5. Обусловленность
Page 264 and 265:
Page 266 and 267:
Page 268 and 269:
Page 270 and 271:
Page 272 and 273:
Page 274 and 275:
3.6. Прямые методы ре
Page 276 and 277:
Page 278 and 279:
Page 280 and 281:
Page 282 and 283:
Page 284 and 285:
Page 286 and 287:
Page 288 and 289:
Page 290 and 291:
Page 292 and 293:
Page 294 and 295:
Page 296 and 297:
Page 298 and 299:
3.7. Методы на основе
Page 300 and 301:
Page 302 and 303:
Page 304 and 305:
Page 306 and 307:
Page 308 and 309:
Page 310 and 311:
Page 312 and 313:
Page 314 and 315:
Page 316 and 317:
Page 318 and 319:
3.8. Метод прогонки 31
Page 320 and 321:
Page 322 and 323:
Page 324 and 325:
3.9. Стационарные ит
Page 326 and 327:
Page 328 and 329:
Page 330 and 331:
Page 332 and 333:
Page 334 and 335:
Page 336 and 337:
Page 338 and 339:
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
Page 344 and 345:
Page 346 and 347:
Page 348 and 349:
Page 350 and 351:
Page 352 and 353:
Page 354 and 355:
Page 356 and 357:
3.10. Нестационарные
Page 358 and 359:
Page 360 and 361:
Page 362 and 363:
Page 364 and 365:
Page 366 and 367:
Page 368 and 369:
Page 370 and 371:
Page 372 and 373:
Page 374 and 375:
3.11. Методы установл
Page 376 and 377:
3.12. Теория А.А. Сама
Page 378 and 379:
3.12. Теория А.А. Сама
Page 380 and 381:
3.13. Вычисление опре
Page 382 and 383:
3.14. Оценка погрешно
Page 384 and 385:
3.14. Оценка погрешно
Page 386 and 387:
3.16. Проблема собств
Page 388 and 389:
Page 390 and 391:
Page 392 and 393:
Page 394 and 395:
Page 396 and 397:
Page 398 and 399:
Page 400 and 401:
Page 402 and 403:
Page 404 and 405:
3.17. Численные метод
Page 406 and 407:
Page 408 and 409:
Page 410 and 411:
Page 412 and 413:
Page 414 and 415:
Page 416 and 417:
Page 418 and 419:
Page 420 and 421:
Page 422 and 423:
Page 424 and 425:
Page 426 and 427:
Page 428 and 429:
Page 430 and 431:
Литература к главе
Page 432 and 433:
Page 434 and 435:
Глава 4Решение нели
Page 436 and 437:
4.2. Вычислительно-к
Page 438 and 439:
Page 440 and 441:
Page 442 and 443:
Page 444 and 445:
Page 446 and 447:
4.3. Векторные поля и
Page 448 and 449:
Page 450 and 451:
Page 452 and 453:
Page 454 and 455:
Page 456 and 457:
4.4. Классические ме
Page 458 and 459:
Page 460 and 461:
Page 462 and 463:
Page 464 and 465:
Page 466 and 467:
Page 468 and 469:
Page 470 and 471:
4.6. Интервальные ли
Page 472 and 473:
4.7. Интервальные ме
Page 474 and 475:
Page 476 and 477:
Page 478 and 479:
Page 480 and 481:
Page 482 and 483:
4.8. Глобальное реше
Page 484 and 485:
Page 486 and 487:
Page 488 and 489:
Page 490 and 491:
Page 492 and 493:
Обозначения 491IR n мн
Page 494 and 495:
Обозначения 493DO WHILE
Page 496 and 497:
Обозначения 495Бюфф
Page 498 and 499:
Обозначения 497Кузь
Page 500 and 501:
Обозначения 499Рэле
Page 502 and 503:
Обозначения 501Штиф
Page 504 and 505:
Предметный указате
Page 506 and 507:
Предметный указате
show all

С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?