С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

470 4. Решение нелинейных уравнений и их системТеорема 4.6.1 (характеризация Бека) Если A ∈ IR m×n , b ∈ IR m ,тоΞ(A,b) = { x ∈ R n | Ax∩b ≠ ∅ }= { x ∈ R n | 0 ∈ Ax−b } .Доказательство. Если ˜x ∈ Ξ(A,b), то Øx = ˜b для некоторых˜b à ∈ A,∈ b. Следовательно, по крайней мере˜b ∈ A˜x∩b, так что действительноA˜x∩b ≠ ∅.Наоборот, если A˜x ∩ b ≠ ∅, то это пересечение A˜x ∩ b содержитвектор ˜b ∈ R m , для которого должно иметь место равенство ˜b = Øx снекоторой à ∈ A. Итак, ˜x ∈ Ξ(A,b).Второе равенство следует из того, что A˜x ∩b ≠ ∅ тогда и толькотогда, когда 0 ∈ A˜x−b.Теорема 4.6.2 (характеризация Оеттли-Прагера) Для объединённогомножества решений ИСЛАУ имеет местоx ∈ Ξ(A,b) ⇔ ∣ ∣ (mid A)x−mid b∣ ∣ ≤ rad A·|x|+rad b, (4.18)где неравенство между векторами понимается покомпонентным образом.Доказательство. Для любых интервальных векторов-брусов p и qвключение p ⊆ q равносильно покомпонентному неравенству|mid q −mid p| ≤ rad q −rad p.Следовательно, условие характеризации Бека, т. е. 0 ∈ A˜x−b, можетбыть переписано в следующем виде:|mid (A˜x−b) | ≤ rad (A˜x−b).С учётом правил преобразования середины и радиуса получаемmid (A˜x−b) = (mid A)˜x−mid b,rad (A˜x−b) = (rad A)·|˜x|+rad b,откуда вытекает требуемое.