С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 313конечной линейно независимой системе векторов v 1 , v 2 ,. . . , v n процессГрама-Шмидта строит ортогональный базис q 1 , q 2 , . . . , q n линейнойоблочки векторов v 1 , v 2 ,. . . , v n .Возмём в качестве первого вектора q 1 конструируемого ортогональногобазиса вектор v 1 , первый из исходного базиса. Далее для построенияq 2 можно использовать v 2 «как основу», но откорректировав его сучётом требования ортогональности к q 1 и принадлежности линейнойоболочке векторов q 1 = v 1 и v 2 . Естественно положить q 2 = v 2 +α 21 q 1 ,где коэффициент α 21 подлежит определению из условия ортогональности〈q 1 ,v 2 +α 21 q 1 〉 = 0.Отсюдаα 21 = − 〈q 1,v 2 〉〈q 1 ,q 1 〉 .Далее аналогичным образом находится q 3 = v 3 +α 31 q 1 +α 32 q 2 , и т. д.В целом ортогонализация Грама-Шмидта выполняется в соответствиисо следующими расчётными формулами:∑j−1q j ← v j −k=1〈q k ,v j 〉〈q k ,q k 〉 q k, j = 1,2,...,n. (3.83)В Табл. 3.2 дан псевдокод ортогонализации Грама-Шмидта, дополненнойещё нормализаций получающихся векторов.Дадим матричное представление процесса ортогонализации Грама-Шмидта.Пусть векторы v 1 , v 2 , . . . , v n заданы своими координатными представлениямив некотором базисе, и из вектор-столбцов этих координатныхпредставлений мы организуем матрицу W. В результате ортогонализациимы должны получить ортогональную матрицу, в которойпервый столбец — это нормированный первый вектор, второй столбец— это нормированная линейная комбинация первых двух векторстолбцов,и т. д. Столбец с номером j результирующей ортогональнойматрицы равен нормированной линейной комбинации первых j штукстолбцов исходной матрицы. В целом процесс ортогонализации Грама-Шмидта равносилен умножению W слева на верхнюю треугольнуюматрицу, в результате чего должна получиться ортогональная матрица.