С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.8. Метод прогонки 321Предложение 3.8.1 Если в системе линейных алгебраических уравненийс трёхдиагональной матрицей (3.84) имеет место диагональноепреобладание, т.е.|b i | > |a i |+|c i |, i = 1,2,...,n,то метод прогонки c выбором начальных значений согласно (3.89) являетсяреализуемым.По поводу формулировки Предложения 3.8.1 можно заметить, чтоусловие диагонального преобладания в матрице влечёт её строгую регулярность,как мы видели в §3.6д. Поэтому в силу Теоремы 3.6.2 существуетLU-разложение такой матрицы, и оно может быть получено спомощью прямого хода метода Гаусса без перестановки строк и столбцов.Но это и означает реализуемость метода прогонки. Ниже, тем неменее, даётся другое доказательство этого факта, которое позволяетпомимо установления реализуемости дать ещё числовые оценки «запасаустойчивости» прогонки, т. е. того, насколько сильно знаменателивыражений (3.87)–(3.88) для прогоночных коэффициентов отличны отнуля в зависимости от элементов матрицы СЛАУ.Доказательство. Покажем по индукции, что в рассматриваемой реализациипрогонки для всех индексовiсправедливо неравенство|ξ i | < 1.Прежде всего, ξ 1 = 0 и потому база индукции выполнена: |ξ 1 | < 1.Далее, предположим, что для некоторого индекса i уже установленаоценка |ξ i | < 1. Если соответствующее c i = 0, то из (3.87) следуетξ i+1 = 0, и индукционный переход доказан. Поэтому пусть c i ≠ 0.Тогда справедлива следующая цепочка соотношений|ξ i+1 | =∣ − c ∣i ∣∣∣=a i ξ i +b i|c i ||a i ξ i +b i |≤|c i |∣ |bi |−|a i |·|ξ i | ∣ из оценки снизу для модуля суммы