С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

246 3. Численные методы линейной алгебрызначения λ i матрицы A. Поэтому‖x‖ A = √ √〈Ax,x〉 = 〈Q ⊤ DQx,x〉= √ 〈DQx,Qx〉 = √ 〈Dy,y〉 =( ∑iλ 2 i y2 i) 1/2. (3.24)где y = Qx. Таким образом, в системе координат, которая получаетсяиз исходной ортогональным преобразованием x = Q ⊤ y, линии уровняэнергетической нормы, т. е. поверхности ‖x‖ A = const, являются эллипсоидами.Они тем более вытянуты, чем больше различаются междусобой λ i , т. е. чем больше разброс собственных чисел матрицы A.Из сказанного вытекает характерная особенность энергетическойнормы, которая в ряде случаев оборачивается её недостатком, — возможностьсущественного искажения обычного геометрического масштабаобъектов по разным направлениям (своеобразная анизотропия).Она вызывается разбросом собственных значений порождающей матрицыA и приводит к тому, что векторы из R n , имеющие одинаковуюэнергетическую норму, существенно различны по обычной евклидовойдлине, и наоборот (Рис. 3.7). С другой стороны, использование энергетическойнормы, которая порождена матрицей, фигурирующей в постановкезадачи (системе линейных алгебраических уравнений, задачена собственные значения и т. п.) часто является удобным и оправданным,а альтернативы ему очень ограничены. Примеры будут рассмотреныв §3.10б, §3.10в и §3.10г.Из общего факта эквивалентности любых норм в конечномерномлинейном пространстве следует, что энергетическая норма эквивалентнарассмотренным выше матричным нормам ‖·‖ 1 , ‖·‖ 2 , ‖·‖ ∞ , фробениусовойнорме и норме ‖·‖ max . Но интересно знать конкретные константыэквивалентности. Из выражения (3.24) следует, что(mini|λ i |)‖x‖ 2 ≤ ‖x‖ A ≤(max|λ i |i)‖x‖ 2 .Другие двусторонние неравенства для энергетической нормы можнополучить на основе Предложения 3.3.7.Выражения для матричных норм, которые подчинены энергетическойнорме векторов или просто согласованы с нею, выписываютсясложно и даже не всегда могут быть указаны в явном и несложно вычисляемомвиде. Тем не менее, можно привести полезный и красивый