С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

72 2. Численные методы анализаиз тригонометрического определения полиномов Чебышёва (2.27), гдевнешний cos должен достигать максимальных по модулю значений ±1в точках x s , удовлетворяющих условию n arccosx = sπ, s = 0,1,...,n.Следующее свойство полиномов Чебышёва настолько важно, чтомы оформим его как отдельноеПредложение 2.3.2 Среди полиномов степени n, n ≥ 1, со старшимкоэффициентом, равным 1, полином ˜T n (x) := 2 1−n T n (x) имеет на интервале[−1,1] наименьшее равномерное отклонение от нуля. Инымисловами, если Q n (x) — полином степени n со старшим коэффициентом1, тоmax |Q n(x)| ≥ max |˜T n (x)| = 2 1−n . (2.32)x∈[−1,1] x∈[−1,1]Доказательство. Предположим противное доказываемому, т. е. чтодля какого-то полинома Q n (x), имеющего старший коэффициент1, выполняетсянеравенствоmax |Q n(x)| < max |˜T n (x)|, (2.33)x∈[−1,1] x∈[−1,1]которое противоположно по смыслу неравенству (2.32). Тогда разность(˜Tn (x)−Q n (x) ) есть полином степени не выше n−1. В то же время, вточках x s = cos(sπ/n), s = 0,1,...,n, доставляющих полиному Чебышёвамаксимумы модуля на [−1,1], должно быть справедливоsgn (˜Tn (x s )−Q n (x s ) ) = sgn ( (−1) s 2 1−n −Q n (x s ) )= sgn ( (−1) s 2 1−n) в силу (2.33)= (−1) s .Как следствие, на интервале [x s ,x s+1 ] полином (˜Tn (x)−Q n (x) ) меняетзнак, и потому обязан иметь корень. Коль скоро это происходитдля s = 0,1, . . . , n − 1, т. е. всего n раз, то полином (˜Tn (x) − Q n (x) )необходимо имеет n корней на [−1,1]. Так как степень этого полиномане превосходит n−1, полученные выводы можно примирить лишь приусловии (˜Tn (x) −Q n (x) ) = 0, т. е. когда Q n (x) = ˜T n (x). Мы пришли кпротиворечию с допущением (2.33).Полиномы ˜T n (x), n ≥ 1, фигурирующие в Предложении 2.3.2 и имеющиеединичный старший коэффициент, называют приведёнными полиномамиЧебышёва.