С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

118 2. Численные методы анализа(2.80)–(2.83):(u,u ′ )+(v,v ′ ) = (u+v,u ′ +v ′ ), (2.84)(u,u ′ )−(v,v ′ ) = (u−v,u ′ −v ′ ), (2.85)(u,u ′ )·(v,v ′ ) = (uv,u ′ v +uv ′ ), (2.86)(u,u ′ () u(v,v ′ ) = v , u′ v −uv ′ )v 2 . (2.87)Первые члены пар преобразуются просто в соответствии с применяемойарифметической операцией, а операции над вторыми членами пар— это в точности копии правил (2.80)–(2.83). Если для заданного выражениямы начнём вычисления по выписанным формулам (2.84)–(2.87),заменив исходную переменную x на пары (x,1), а константы c — напары вида (c,0), то на выходе получим пару, состоящую из численныхзначений выражения и производной от него в точке x.Это рассужднение очевидно обобщается на случай, когда функциязависит от нескольких переменных.Помимо арифметических операций интересующее нас выражениеможет содержать вхождения элементарных функций. Для них в соответствиис формулами дифференциального исчисления можем определитьдействия над парами следующим образомexp ( (u,u ′ ) ) = (expu,u ′ expu),sin ( (u,u ′ ) ) = (sinu,u ′ cosu),((u,u ′ ) ) 2=(u 2 ,2uu ′) ,((u,u ′ ) ) 3=(u 3 ,3u 2 u ′) и т.д.Арифметику пар вида (u,u ′ ) с операциями (2.84)–(2.87) называютдифференциальной арифметикой, а основанный на её использованииспособ вычисления значений производных носит название алгоритмическогодифференцирования. Нередко используют также термин «автоматическоедифференцирование».Строго говоря, мы рассмотрели один из возможных способов организацииалгоритмического дифференцирования, который называютпрямым режимом. Существует ещё и обратный режим алгоритмическогодифференцирования.