С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.11. Полиномы Лежандра 133ственно более трудным. В целом, если какое-либо одно или оба из выписанныхусловий не выполняется, то метод наименьших квадратовможет быть не самой лучшей возможностью решения задачи приближения.Нередко форма приближающей функции (2.91) не подходит по темили иным причинам, и тогда приходится прибегать к нелинейному методунаименьших квадратов, когда приближающая функция g(x) выражаетсянелинейными образом через базисные функции ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),. . . , ϕ m (x). Тогда минимизация средневадратичного отклонения f от gуже не сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений(2.94), и для нахождения минимума нам нужно применять численныеметоды оптимизации. Обсуждение этого круга вопросов и дальнейшиессылки можно найти, к примеру, в книге [41].2.11 Полиномы Лежандра2.11а Мотивация и определениеПримеры 2.10.2 и 2.10.3 из предшествующего раздела показывают,что выбор хорошего, т. е. ортогонального или почти ортогонального, базисадля среднеквадратичного приближения функций является нетривиальнойзадачей. Для её конструктивного решения можно воспользоваться,к примеру, известным из курса линейной алгебры процессомортогонализации Грама-Шмидта или его модификациями (см. §3.7е).Напомним, что по данной конечной линейно независимой системе векторовv 1 , v 2 ,. . . , v n этот процесс строит ортогональный базис q 1 , q 2 ,. . . , q n линейной облочки векторов v 1 , v 2 ,. . . , v n . Он имеет следующиерасчётные формулы:q 1 ← v 1 , (2.101)k−1∑q k ← v k −i=1〈v k ,q i 〉〈q i ,q i 〉 q i, k = 2,...,n. (2.102)Иногда получающийся ортогональный базис дополнительно нормируют.В задаче среднеквадратичного приближения, рассмотренной в предшествующем§2.10г, ортогонализуемые элементы линейного пространства— это функции, а их скалярное произведение — интеграл (2.99). По