С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

158 2. Численные методы анализаИнтерполяционная квадратурная формула должна получаться изприближёного равенства∫ baf(x)dx ≈∫ baP n (x)dx (2.121)в результате выполнения интегрирования в правой части. Как следствие,в представлении (2.111) весовые коэфициенты формулы имеютвидc i ==∫ ba∫ baφ i (x)dx(2.122)(x−x 0 ) ··· (x−x i−1 )(x−x i+1 ) ··· (x−x n+1 )(x i −x 0 )···(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )···(x i −x n+1 ) dx,i = 0,1,...,n. Эти значения весовc i , определяемых по узламx 0 ,x 1 , . . . ,x n , являются отличительным характеристическим признаком именноинтерполяционной квадратурной формулы. Если для заданного набораузлов у какой-либо квадратурной формулы весовые коэффициентыравны (2.122), то можно считать, что она построена на основе алгебраическойинтерполяции подинтегральной функции по этим узлам, взятымс единичной кратностью.Теорема 2.12.1 Для того, чтобы квадратурная формула (2.111), построеннаяпо (n + 1) попарно различным узлам, была интерполяционной,необходимо и достаточно, чтобы её алгебраическая степеньточности была не меньшей n.В качестве замечания к формулировке нужно отметить, что в условияхтеоремы квадратурная формула на самом деле может иметь алгебраическуюстепень точности выше n, как, например, формула среднихпрямоугольников или формула Симпсона.Доказательство. Необходимость условий теоремы очевидна: интерполяционнаяквадратурная формула на n+1 узлах, конечно же, точнана полиномах степени n, поскольку тогда подинтегральная функциясовпадает со своим алгебраическим интерполянтом.Покажем достаточность: если квадратурная формула (2.111), построеннаяпо (n+1) узлу, является точной для любого алгебраическогополинома степени n, то её весовые коэффициенты вычисляются по