С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.17. Правило Рунге для оценки погрешности 193ческое моделирование и аппарат теории вероятностей. 20 Этому способствовалопоявление к тому времени электронных вычислительныхмашин, позволивших быстро выполнять многократные статистическиеиспытания (Дж. фон Нейман также принимал активное участие в созданиипервых цифровых ЭВМ). С конца 40-х годов XX века начинаетсяширокое развитие метода Монте-Карло и методов статистическогомоделирования во всём мире. В настоящее время их успешно применяютдля решения самых разнообразных задач практики (см., к примеру,[28, 55] и цитированную там литературу).2.17 Правило Рунгедля оценки погрешностиПредположим, что нам необходимо численно найти интеграл илипроизводную функции, либо решение дифференциального или интегральногоуравнения, т. е. решить какую-либо задачу, где фигурируетсетка на интервале вещественной оси или в пространстве б´ольшего числаизмерений. Пусть для решения этой задачи применяется численныйметод порядка p, так что главный член его погрешности равен Ch p , гдеh — шаг рассматриваемой сетки, а C — величина, напрямую от h не зависящая.Как правило, значение C не известно точно и его нахождениенепосредственно из исходных данных задачи является делом трудными малоперспективным. Мы могли видеть, к примеру, что для задачинтерполирования и численного интегрирования выражение для этойконстанты вовлекает оценки для производных высоких порядков отрассматриваемой функции либо её разделённые разности. Во многихслучаях их практическое вычисление не представляется возможным,так что оценки эти носят, главным образом, теоретический характер.Аналогична ситуация и с другими постановками задач и погрешностямиих решения.К. Рунге принадлежит идея использовать для определения значенияконстанты C результаты нескольких расчётов на различных сетках.Далее, после того как величина C будет определена, мы можемиспользовать её значение для практического оценивания погрешностиприближённых решений нашей задачи, которые получаются с помощьювыбранного численного метода.20 Интересно, что примерно в те же самые годы в СССР решение аналогичныхзадач советского атомного проекта было успешно выполнено другими методами.