С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.15. Сходимость квадратур 185Необходимо оговориться, что в практическом плане вопрос о сходимостиквадратур решается положительно с помощью составных формул,рассмотренных в предыдущем §2.14. Для достаточно общих функцийпутём построения составной квадратурной формулы всегда можнодобиться сходимости приближённого значения интеграла к точному(для составной формулы прямоугольников это следует из самогоопределения интегрируемости по Риману). Обсуждаемый ниже кругвопросов относится больше к теоретическим качествам тех или иных«чистых» квадратурных формул, их предельному поведению.Весьма общие достаточные условия для сходимости квадратур былисформулированы и обоснованы В.А. Стекловым [62], а впоследствииД. Пойа [72] доказал также необходимость условий Стеклова.Теорема 2.15.1 (теорема Стеклова-Пойа) Квадратурный процесс, порождаемыйматрицами узлов и весов (2.139)–(2.140), сходится длялюбой непрерывной на [a,b] функции тогда и только тогда, когда(1) этот процесс сходится для полиномов,(2) суммы абсолютных значений весов равномерно по nограничены, т.е. существует такая константа C,чтодля всех n = 0,1,2,....n∑ ∣∣c (n)kk=0∣ ≤ C (2.141)Покажем достаточность условий теоремы Стеклова-Пойа. С этойцелью, задавшись каким-тоǫ > 0, найдём полином P N (x), который равномернос погрешностьюǫ приближает непрерывную подинтегральнуюфункцию f(x) на рассматриваемом интервале [a,b]. Существование такогополинома обеспечивается теоремой Вейерштрасса (см. §2.5). Далеепреобразуем выражение для остаточного члена квадратурной форму-