С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

334 3. Численные методы линейной алгебрычастей на некоторую матрицу Λ. Сама эта матрица Λ называетсяпредобуславливающей матрицей или, коротко, предобуславливателем.Цель предобуславливания — изменение (вообще говоря, улучшение)свойств матрицы A исходной системы Ax = b, вместо которой мы получаемсистему(ΛA)x = Λb.Продуманный выбор предобуславливателя может, к примеру, изменитьвыгодным нам образом расположение спектра матрицы A, так необходимоедля организации сходящихся итерационных процессов.Естественно выполнить предобуславливание до перехода к системе(3.96), т. е. до прибавления вектора неизвестных x к обеим частям исходнойСЛАУ. Поскольку тогда вместоAx = b будем иметь(ΛA)x = Λb,то далее получаемx = (I −ΛA)x+Λb.Теперь в этом рекуррентном виде с помощью подходящего выбора Λможно добиваться требуемых свойств матрицы (I −ΛA).Каким образом следует выбирать предобуславливатели? Совершеннообщего рецепта на этот счёт не существует, и теория разбиваетсяздесь на набор рекомендаций для ряда более или менее конкретныхважных случаев.Например, если в качестве предобуславливающей матрицы взятьΛ = A −1 или хотя бы приближённо равную обратной к A, то вместосистемы Ax = b получим (A −1 A)x = A −1 b, т. е. систему уравненийIx = A −1 bили близкую к ней, матрица которой обладает всеми возможными достоинствами(хорошим диагональным преобладанием, малой обусловленностьюи т. п.). Ясно, что нахождение подобного предобуславливателяне менее трудно, чем решение исходной системы, но сама идеяпримера весьма плодотворна. На практике в качестве предобуславливателейчасто берут несложно вычисляемые обратные матрицы к тойили иной «существенной» части матрицы A. Например, к главной диагоналиматрицы или же к трём диагоналям — главной и двум побочным.Другой способ приведения СЛАУ к рекуррентному виду основан нарасщеплении матрицы системы.