С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

168 2. Численные методы анализаОтсюдаc 1 = b−a,x 1 = 1 (b 2 −a 2 ) = 12c2 (a+b).1Как легко видеть, получающаяся квадратурная формула — это формула(средних) прямоугольников∫ b ( a+b)f(x)dx ≈ (b−a)·f .a2Нам в самом деле известно (см. §2.12б), что она резко выделяется своейточностью среди родственных квадратурных формул.Пусть n = 2, тогда алгебраическая степень точности соответствующейквадратурной формулы равна m = 2n−1 = 3. Система уравнений(2.126) для узлов и весов принимает вид⎧c 1 +c 2 = b−a,⎪⎨ c 1 x 1 +c 2 x 2 = 1 2 (b2 −a 2 ),c 1 x 2 1 +c 2 x 2 2 = 1 3⎪⎩(b3 −a 3 ),c 1 x 3 1 +c 2 x 3 2 = 1 4 (b4 −a 4 ).Она обладает определённой симметрией: одновременная перемена местамиx 1 с x 2 и c 1 с c 2 оставляет систему неизменной. По этой причине,учитывая вид первого уравнения, будем искать решение, в которомc 1 = c 2 . Это даётc 1 = c 2 = 1 2 (b−a),и из первого и второго уравнений тогда получаемОтсюда после возведения в квадрат имеемx 1 +x 2 = a+b. (2.127)x 2 1 +2x 1 x 2 +x 2 2 = a 2 +2ab+b 2 . (2.128)В то же время, с учётом найденных значений c 1 и c 2 из третьего уравнениясистемы следуетx 2 1 +x2 2 = 2 3 (b2 +ab+a 2 ),