С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

110 2. Численные методы анализаПорядок этих формул всего лишь второй, откуда видна роль симметричностишаблона в трёхточечной формуле (2.65) с тем же порядкомточности.Что произойдёт, если дифференцируемая функция не будет иметьдостаточную гладкость? Тогда мы не сможем выписывать необходимоеколичество членов разложения по формуле Тейлора, и потому полученныйпорядок точности формул с помощью метода разложенийустановить не сможем. Тот факт, что в этих условиях реальный порядокточности может быть в самом деле меньшим, чем для функций свысокой гладкостью, показывает следующийПример 2.8.2 Рассмотрим функцию g(x) = x|x|, которую эквивалентнымобразом можно задать в виде{x 2 , если x ≥ 0,g(x) =−x 2 , если x ≤ 0.Её график изображён на Рис. 2.14.Функция g(x) дифференцируема всюду на числовой оси. При x ≠ 0она имеет производную, равнуюg ′ (x) = ( x|x| ) ′= x ′ |x|+x|x| ′ = |x|+x sgn x = 2|x|,а в нулеg ′ x|x|(0) = lim = 0.x→0 xТаким образом, производная g ′ (x) = 2|x| всюду непрерывна. Но онанедифференцируема в нуле, так что вторая производная g ′′ (0) уже несуществует. Как следствие,g(x) ∈ C 1 , ноg(x) ∉ C 2 на любом интервале,содержащем нуль.Воспользуемся для численного нахождения производной g ′ (0) формулойцентральной разности (2.64) на шаблоне с шагом h, симметричномотносительно нуля:g ′ (0) ≈ g(h)−g(−h)2h= h|h|−(−h)|−h|2h= h2 +h 22h= h.Таким образом, при h → 0 приближённое числовое значение производнойстремится к g ′ (0) = 0 c первым порядком по h, а не вторым, какмы установили это ранее для дважды гладких функций.