С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.12. Теория А.А. Самарского 375ме (3.123) естественно назвать явным, если B k = I — единичная матрицаи выписанная выше система сводится к явной формуле для нахожденияследующего итерационного приближения x (k+1) . Иначе, еслиB k ≠ I, итерации (3.123) называются неявными. Неявные итерационныеметоды имеет смысл применять лишь в том случае, когда решениесистемы уравнений относительно x (k+1) существенно легче, чем решениеисходной системы.Выпишем представление в форме Самарского для рассмотренныхранее итерационных процессов. Метод простой итерации из §3.9г принимаетвидx (k+1) −x (k)+Ax (k) = b, k = 0,1,2,..., (3.124)τгде τ = τ k = const — постоянный параметр, имеющий тот же смысл,что и в рассмотрениях §3.9г. Переменный параметр τ k в (3.124) приводитк нестационарному методу Ричардсона (3.110) (см. §3.10а). ЕслиD и ˜L — диагональная и строго нижняя треугольная части матрицы Aсоответственно (см. §3.9д), то методы Якоби и Гаусса-Зейделя можнозаписать в видеD x(k+1) −x (k)+Ax (k) = b,1и(D + ˜L) x(k+1) −x (k)+Ax (k) = b.1Наконец, итерационный метод релаксации с релаксационным параметромω (см. §3.9ж) в тех же обозначениях имеет форму Самарского(D +ω˜L) x(k+1) −x (k)ω+Ax (k) = b, k = 0,1,2,....При исследовании сходимости итераций в форме Самарского удобнопользоваться матричными неравенствами, связанными со знакоопределённостьюматриц. Условимся для вещественной n×n-матрицы Gписать G⊲0, если 〈Gx,x〉 > 0 для всех ненулевых n-векторовx, т. е. еслиматрица G положительно определена. Из этого неравенства следуеттакже существование такой константы µ > 0, что 〈Gx,x〉 > µ〈x,x〉.Неравенство G ⊲H будем понимать как 〈Gx,x〉 > 〈Hx,x〉 для всех x,что равносильно также G−H ⊲0.Достаточное условие сходимости итерационного процесса в формеСамарского (3.123) даёт