С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.8. Метод прогонки 317Но при j = 0,1,...,k−2 справедливо 〈Ap k ,p j 〉 = 0, так как 〈Ap k ,p j 〉 =〈p k ,Ap j 〉, а вектор Ap j есть линейная комбинация векторов p 0 , p 1 , . . . ,p j+1 , каждый из которых ортогонален к p k при j+1 < k, т. е. j ≤ k−2.Итак, из коэффициентов γ (k)j ненулевыми остаются лишь два коэффициентаДалее,α k = γ (k)k= 〈Ap k,p k 〉〈p k ,p k 〉 ,β k = γ (k)k−1 = 〈Ap k,p k−1 〉〈p k−1 ,p k−1 〉 .〈Ap k ,p k−1 〉 = 〈p k ,Ap k−1 〉 = 〈p k ,p k +α k−1 p k−1 +β k−1 p k−2 〉 = 〈p k ,p k 〉,и поэтомуβ k = 〈p k,p k 〉〈p k−1 ,p k−1 〉 .Это завершает доказательство теоремы.3.8 Метод прогонкиДо сих пор не делалось никаких дополнительных предположений оструктуре нулевых и ненулевых элементов в матрице системы. Но длябольшого числа систем линейных уравнений, встречающихся в практикематематического моделирования ненулевые элементы заполняютматрицу не полностью, образуя в ней те или иные правильные структуры— ленты, блоки, их комбинации и т. п. Естественно попытатьсяиспользовать это обстоятельство при конструировании более эффективныхчисленных методов для решения СЛАУ с такими матрицами.Метод прогонки, предложенный в 1952–53 годах И.М. Гельфандом иО.В. Локуциевским, предназначен для решения линейных систем уравненийс трёхдиагональными матрицами. 18 Это важный в приложенияхслучай СЛАУ, возникающий, к примеру, при решении многих краевыхзадач для дифференциальных уравнений. По определению, трёхдиагональныминазываются матрицы, все ненулевые элементы которых18 Для краткости можно называть их просто трёхдиагональными линейными системами.