С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 2453.3е Энергетическая нормаЕщё одной важной и популярной конструкцией нормы являетсятак называемая энергетическая норма векторов, которая порождаетсякакой-либо симметричной положительно-определённой матрицей (эрмитовойв комплексном случае). Если A — такая матрица, то выражение〈Ax,y〉, как нетрудно проверить, есть симметричная билинейнаяположительно-определённая форма, т. е. скалярное произведение векторовx и y. Следовательно, можно определить норму вектора x, как‖x‖ A := √ 〈Ax,x〉,т. е. как корень из произведения x на себя в этом новом скалярном произведении.Она называется энергетической нормой вектора x относительноматрицы A, и нижний индекс указывает на эту порождающуюматрицу. Её часто называют также A-нормой векторов, если в задачеимеется в виду какая-то конкретная симметричная положительноопределённая матрица A. Термин «энергетическая» происходит из-зааналогии выражения для этой нормы с выражениями для различныхвидов энергии (см. также §3.10а).x 2x 1Рис. 3.7. Шар единичного радиуса в энергетической нормепри значительном разбросе спектра порождающей матрицыТак как симметричная матрица может быть приведена к диагональномувиду ортогональными преобразованиями подобия, тоA = Q ⊤ DQ,где Q — ортогональная матрица, D = diag{λ 1 ,λ 2 ,...,λ n } — диагональнаяматрица, на главной диагонали которой стоят собственнные