С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.10. Приближение функций 123Следовательно, при b j → a j разность между r(b 1 ,b 2 ,...,b m ) и r(a 1 , a 2 ,. . . , a m ) также будет стремиться к нулю.Следующим шагом доказательства продемонстрируем, что функцияr(x) может достигать своего минимума лишь на некотором подмножествевсего пространстве R m , которое к тому же компактно.Элемент наилучшего приближения, вообще говоря, может быть неединственным.Но при определённых условиях мы можем гарантироватьего единственность, опираясь лишь на свойства пространства X.Нормированное пространствоX с нормой ‖·‖ называют строго нормированным,если для произвольных x,y ∈ X из равенства ‖x+y‖ =‖x‖ + ‖y‖ следует существование такого скаляра α ∈ R, что y = αx.Иными словами, в таком пространстве равенство в неравенстве треугольникавозможно лишь для коллинеарных векторов.Пример 2.10.1 Строго нормированным пространством является R 2с евклидовой нормой ‖x‖ 2 = √ x 2 1 +x2 2 . Но нормы ‖x‖ 1 = |x 1 | + |x 2 |и ‖x‖ ∞ = max{|x 1 |,|x 2 |} на R 2 , которые эквивалентны норме ‖ · ‖ 2(см. §3.3б), не порождают строго нормированное пространство. Предложение 2.10.2 Пусть X — строго нормированное линейноепространство, а U — его конечномерное линейное подпространство.Тогда для для любого f ∈ X элемент его наилучшего приближенияu ∈ U единствен.Доказательство. Предположим, что для элемента f существуют дванаилучших приближенияu ′ =m∑u ′ i φ i и u ′′ =i=1m∑i=1u ′′i φ i, (2.89)которые определяются наборами коэффициентов (u ′ 1 ,u′ 2 ,...,u′ m ) и (u′′u ′′2 , . . . , u′′ m ) разложения по базису φ i, i = 1,2,...,m. При этом∥ ∥ m ∥ f − ∑ ∥∥∥∥ u ′ miφ i =∥ f − ∑ ∥∥∥∥u ′′i φ i = µ ≥ 0,i=1где µ — величина наименьшего отклонения f от u ′ и u ′′ .i=11 ,