С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 219получается, что сингулярные числа матрицы A суть √ 15± √ 221, т. е.примерно 0.366 и 5.465 (с точностью до трёх знаков после запятой).С другой стороны, для матрицы( 1 2−3 4), (3.11)которая отличается от матрицы (3.10) лишь противоположным знакомэлемента на месте(2,1), собственные значения — это комплексно-сопряжённаяпара 1 2 (5 ± i√ 15) ≈ 2.5 ± 1.936i, а сингулярные числа суть√ √15± 125, т. е. приблизительно 1.954 и 5.117. Можно заметить, что максимальные сингулярные числа рассмотренныхматриц превосходят наибольшие из модулей их собственныхчисел. Мы увидим ниже (см. §3.3ж), что это не случайно, и наибольшеесингулярное число всегда не меньше, чем максимум модулей собственныхчисел матрицы.Рассмотрим вопрос о том, как связаны сингулярные числа для взаимнообратных матриц.Предложение 3.2.5 Если σ — сингулярное число неособенной квадратнойматрицы, то σ −1 — это сингулярное число обратной матрицы.Доказательство. Вспомним, что собствнные числа взаимно обратныхматриц обратны друг другу. Применяя это соображение к матрицеA ∗ A,можем заключить, что если λ 1 , λ 2 , . . . , λ n — её собственные значения,то у обратной матрицы (A ∗ A) −1 = A −1 (A ∗ ) −1 собственными значениямиявляютсяλ −11 , λ−1 2 , . . . , λ−1n . НоA−1 (A ∗ ) −1 = A −1 (A −1 ) ∗ , а потому всилу Предложения 3.2.4 выписанные числа λ −11 , λ−1 2 , . . . , λ−1 n образуютнабор квадратов сингулярных чисел матрицы A −1 . Это и требовалосьпоказать.3.2д Сингулярное разложение матрицВажнейший результат, касающийся сингулярных чисел и сингулярныхвекторов матриц, который служит одной из основ их широкогоприменения в разнообразных вопросах математического моделирования— это