С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

142 2. Численные методы анализаПомимо полиномов Лежандра существуют и другие семейства ортогональныхполиномов, широко используемые в теории и практическихвычислениях. В частности, введённые в §2.3 полиномы Чебышёва образуютсемейство полиномов, ортогональных на интервале [−1,1] с весом(1−x 2 ) −1/2 .Часто возникает необходимость воспользоваться ортогональнымиполиномами на бесконечных интервалах [0,+∞] или даже [−∞,∞].Естественно, единичный вес ̺(x) = 1 тут малопригоден, так как с ниминтегралы по бесконечным интервалам окажутся, по большей части,расходящимися. Полиномы, ортогональные на интервалах [0,+∞] или[−∞,∞] с быстроубывающими весами e −x и e −x2 называются полиномамиЛагерра и полиномами Эрмита соответственно. 14 Они такженаходят многообразные применения в задачах приближения, и болееподробные сведения на эту тему читатель может почерпнуть в [25, 63].2.12 Численное интегрирование2.12а Постановка и обсуждение задачиЗадача вычисления определённого интеграла∫ baf(x)dx (2.109)является одной из важнейших математических задач, к которой сводитсябольшое количество различных вопросов теории и практики. Этонахождение площадей криволинейных фигур, центров тяжести и моментовинерции тел, работы переменной силы и т. п. механические, физические,химические и другие задачи. В математическом анализе обосновываетсяформула Ньютона-Лейбница∫ baf(x)dx = F(b)−F(a), (2.110)где F(x) — первообразная для функции f(x), т. е. такая, что F ′ (x) =f(x). Она даёт удобный способ вычисления интегралов, который в значительнойстепени удовлетворяет потребности решения подобных задач.Тем не менее, возникают ситуации, когда для вычисления интеграла(2.109) требуются другие подходы.14 Иногда их называют также полиномами Чебышёва-Лагерра и Чебышёва-Эрмита (см., к примеру, [39, 63]), поскольку они были известны ещё П.Л.Чебышёву.