С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.7. Интервальные методы решения уравнений 479так чтоx ∈ ˜x+Encl(S,−F(˜x)).Определение 4.7.3 Пусть для внешнего оценивания множеств решенийИСЛАУ зафиксирована процедура Encl, а для отображения F :R n ⊇ D → R n известна интервальная матрица наклонов S ∈ IR n×n .ОтображениеN : ID×R n → IR n ,задаваемое правиломN(x,˜x) = ˜x+Encl(S,−F(˜x)),называется интервальным оператором Ньютона на ID относительноточки ˜x.Как лучше выбирать центр разложения ˜x? Имеет смысл делатьэто так, чтобы величина ‖F(˜x)‖ была, по-возможности, меньшей. Чемменьше будет норма вектор-функции F(˜x), тем меньшим будет нормавекторов, образующих множество решений интервальной линейнойсистемыS(x− ˜x) = −F(˜x),которое мы должны пересекать с исходным брусом. Может быть, мыполучим при этом более узкую внешнюю оценку множества решенийисходной нелинейной системы и более точно определим статус исследуемогобруса. Численные эксперименты как будто подтверждают этотвывод.Процедуру для уточнения центра разложения можно организоватькак метод типа Ньютона, коль скоро нам известна интервальная матрицанаклонов.Наиболее неблагоприятной ситуацией при работе интервального методаНьютона является, конечно, появление включенияN(x,˜x) ⊇ x.Тогда все последующие шаги зацикливаются на брусеxине дают никакойдополнительной информации об искомых решениях системы. Какпоступать в этом случае? Ответ на этот вопрос рассматривается в следующем§4.8.