С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

18 1. Введениеется так называемое «машинноеε» (машинное эпсилон), которое характеризуетгустоту множества машинно-представимых чисел. Это наименьшееположительное число ε маш , такое что в компьютерной арифметике1 + ε маш ≠ 1 при округлении к ближайшему. Из конструкциичисел с плавающей точкой следует тогда, что компьютер, грубоговоря, не будет различать чисел a и b, удовлетворяющих условию1 < a/b < 1+ε маш . Для двойной точности представления в стандартеIEEE 754/854 машинное эпсилон примерно равно 1.11·10 −16 .Принципиальной особенностью компьютерной арифметики, вызваннойдискретностью множества машинных чисел и наличием округлений,является невыполнение некоторых общеизвестных свойств вещественнойарифметики. Например, сложение чисел с плавающей точкойнеассоциативно, т. е. в общем случае неверно, что(a+b)+c = a+(b+c).Читатель может проверить на любом компьютере, что в арифметикеIEEE 754/854 двойной точности при округлении «к ближайшему»(1+1.1·10−16 ) +1.1·10 −16 ≠ 1+ ( 1.1·10 −16 +1.1·10 −16) .Левая часть этого отношения равна 1, тогда как правая — ближайшемук единице справа машинно-представимому числу. Эта ситуация имеетместо в любых приближённых вычислениях, которые сопровождаютсяокруглениями, а не только при расчётах на современных цифровыхЭВМ.Из отсутствия ассоциативности следует, что результат суммированиядлинных сумм вида x 1 +x 2 +...+x n зависит от порядка, в которомвыполняется попарное суммирование слагаемых, или, как говорят, отрасстановки скобок в сумме. Каким образом следует организовыватьтакое суммирование в компьютерной арифметике, чтобы получать наиболееточные результаты? Ответ на этот вопрос существенно зависитот значений слагаемых, но в случае суммирования уменьшающихся поабсолютной величине величин суммировать нужно «с конца». Именнотак, к примеру, лучше всего находить суммы большинства рядов.1.3 Обусловленность математических задачВынесенный в заголовок этого параграфа термин — обусловленность— означает меру чувствительности решения задачи к изменениям(возмущениям) её входных данных. Ясно, что любая информация