С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

344 3. Численные методы линейной алгебрыможет заключаться в следующем. Задавшись каким-то начальным приближениемx (0) , на очередном k-ом шаге для всех i = 1,2,...,n последовательнонаходят решения ˜x i уравнений((k)F i x 1 ,...,x(k) i−1 ,x i,x (k) )i+1 ,...,x(k) n = 0относительно x i , а затем полагают x (k+1)i← ˜x i , i = 1,2,...,n.3.9е Итерационный метод Гаусса-ЗейделяВ итерационном методе Якоби при организации вычислений по инструкции(x (k+1)i ← 1 b i − ∑ )a ij x (k)j , i = 1,2,...,n, (3.102)a iij≠iкомпоненты очередного приближения x (k+1) находятся последовательноодна за другой, так что к моменту вычисления i-ой компонентывектора x (k+1) уже найдены x (k+1)1 , x (k+1)2 , . . . , x (k+1)i−1 . Но метод Якобиникак не использует эти новые значения, и при вычислении любойкомпоненты следующего приближения всегда опирается только навектор x (k) предшествующего приближения. Если итерации сходятсяк решению, то естественно ожидать, что все компоненты x (k+1) ближек искомому решению, чем x (k) , а посему немедленное вовлечение их впроцесс вычислений будет способствовать ускорению сходимости.На этой идее основан итерационный метод Гаусса-Зейделя, 22 псевдокодкоторого представлен в Табл. 3.5 (где, как и ранее, k — счётчикитераций). В нём суммирование в формуле (3.102) для вычисления i-ой компоненты очередного приближения x (k+1) разбито на две части— по индексам, предшествующим i, и по индексам, следующим за i.Первая часть суммы использует новые вычисленные значения x (k+1)1 ,. . . , x (k+1)i−1, тогда как вторая — компоненты x (k)i+1 , . . . , x(k) n из старогоприближения. Метод Гаусса-Зейделя иногда называют также итерационнымметодом «последовательных смещений», а его основная идея —немедленно вовлекать уже полученную информацию в вычислительныйпроцесс — с успехом применима и для нелинейных итерационныхсхем.22 В отчествественной литературе по вычислительной математике нередко используетсятакже термин «метод Зейделя».