С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

314 3. Численные методы линейной алгебрыТаблица 3.2. Ортогонализация Грама-ШмидтаDO FOR j = 1 TO nq j ← v j ;END DODO k = 1 TO j −1α kj ← 〈q k ,v j 〉;q j ← q j −α kj q j ;END DOα jj ← ‖q j ‖ 2 ;IF (α jj = 0 ) THENSTOP, сигнализируя «v j линейно зависитот векторов v 1 , v 2 ,. . . , v j−1 »END IFq j ← q j /α jj ;Фактически, ортогонализацию Грама-Шмидта можно рассматриватькак ещё один способ получения QR-разложения матрицы. Но свойстваэтого процесса существенно хуже, чем у метода отражений илиметода вращений. Если исходная система векторов близка к линейнозависимой, то полученный в результате применения алгоритма Грама-Шмидта базис может существенно отличаться от ортогонального в томсмысле, что попарные скалярные произведения его векторов будут заметноотличаться от нуля.Этот недостаток можно до некоторой степени исправить, модифицироваврасчётные формулы алгоритма Грама-Шмидта так, чтобы вычислениепоправочных коэффициентов α kj выполнялось другим способом.Псевдокод модифицированной ортогонализации Грама-Шмидтадан в Табл. 3.3.В общем случае при ортогонализации Грама-Шмидта построениекаждого следующего вектора требует привлечения всех ранее построенныхвекторов. Но если исходная система векторов имеет специальныйвид, в определённом смысле согласованный с используемым скалярнымпроизведением, то ситуация упрощается. Важнейший частный